2011届高考数学一轮复习专题讲座24：直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)

24、题目高中数学复习专题讲座：直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)

高考要求

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算

能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能

重难点归纳

直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法

当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长

(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍

典型题例示范讲解

例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列

(1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m

命题意图本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强

知识依托椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法

错解分析第三问在表达出“k=

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y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中

变量间的关系

技巧与方法第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围

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解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a c

故椭圆方程为

x

2

25

y

2

9

=1

(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB根据椭圆定义，有|F2A|=

45

因为椭圆右准线方程为x=

254

254

,离心率为，

5

4

(

254

－x1),|F2C|=

45

(－x2)，

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得

45

(

254

－x1)+

45

(

254

－x2)=2×

95

,由此得出x1+x2=8

设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=

x1 x2

2

=4

(3) 由A(x1,y1),C(x2,y2)

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