三角形内心的几个性质及其运用

竞赛,比较罕见的

三角形中关于|∏

b c

|的一个不a

等式

福建福州第二十四中学 杨学枝

定理 设△ABC三边长为BC=a,CA= b,AB=c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,

b c

,则 记Q

=∏, (1) Q≤1b cc aa b

,当且仅当,中,有两个相abc

等时(1)式取等号.

b cb c

+, 证明 记y1=∏aa

b cc ab ca b

+,y3=∏+, y2=∏abac

则经计算有 y1+y2+y3=0,

2r12

y2y3+y3y1+y1y2= (1 +Q),

R3

22r

y1y2y3=Q3 (1+)Q.

273R

由此可知,y1,y2,y3是方程

r2r122

y3 (1 +Q2)y Q3+(1+)Q

R3R273

=0, ① 的三个实根.根据三次方程有三个实根的充要条件可以得到

122r

[ Q3+(1+Q]2 4273R

12r1+[ (1 +Q)]3≤0, ② 27R3

40r4r222r4

即 4Q

(8+ 2)Q+4(1 )3≥0,

RRR2

Q2 等价于(2Q 2

≥0.

2

<0, 易证2Q 2

因此有

2

2Q 2 ≥0, 即得(1)式.当且仅当方程①有重根时,②

b cc aa b

, 式取等号,即当且仅当,中,

abc

有两个相等时(1)式取等号.

2r

由定理中(1)式及≤1,易得

R

推论 同定理条件,有

(b c)(c a

)(a b)||

abc

≤1 (2)

当且仅当△ABC为正三角形时取等号(证略).

2

三角形内心的几个性质及其运用

福建邵武第一中学 石才明

本文用向量的知识得出三角形内心的几个简捷的性质,并进一步探讨其在解题中的一些应用.

性质1 △ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,I为△ABC的内心,则

uuruuruuraIA+bIB+cIC=证明 如右图,过I 分别作三边的平行线, 分别交三边于A1、A2、

B1、B2、C1、C2 B1B2∵I是△ABC的

内心,

∴四边形AA1IC2、BB1IA2、CC1IB2都为菱形,

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