《线性代数》第3章习题解答

线性代数答案与课件,化学工业出版设

(3) 1,2,3,4 T, TT

1 1,1,2,2 , 2 1,0,0,0 , T

T

3 1, 2, 2, 2 , 4 2,0,0,0 .

解: 设 1 1 2 2 3 3 4 4，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：

11 121 01

12 1 r1 rA 10 2022 20 203 r3 2r10 202

2

201 20 204 r 4 2r00

2 00200

01

12 1 r1 4 r 3 0 202 00201 B 0000 1

因阶梯形矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 不能由 1, 2, 3, 4线性表示.

(4) 5, 2, 2,0 T

, T

T

1 1,1,2,3 , 2 1,2, 3,1 , T

T

3 1, 1, 1,2 , 4 1,4, 5,11 .

解： 设 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 111

1

5 10001 A

12 14 2

002 2 3 1 5 2

01

00

103

312110

000

1

1

x1 1,x2

2,x3 3,x4 1, 1 2 2

3 3 4

5. 证明： 如果n维单位坐标向量组 1, 2, , n可由n维向量组 1, 2, , n线性表示，则向量组 1, 2, , n线性相关。

证： 向量组 1, 2, , n也可由 1, 2, , n线性表示,

向量组 1, 2, , n 与向量组 1, 2, , n等价，所以向量组 1, 2, , n的秩为n，

所以线性无关。

6. 若向量组 1, 2, 3线性无关，证明：向量组 1, 1 2, 1 2 3 也线性无关。

证： 设有常数 k1,k2,k3,使

k1 1 k(2 1 )2 k( 3 1 2) 03即(k1 k2 k)3 1(k 2k) 3 2k 303

1, 2, 线3性无关， k 1

k 2k 30,

k2 k3 0,

k3 0,

系数行列式

1

11

0

11 1 0, 上方程组只有零解.0

1

k1 k2 k3 0,从而向量组 1, 1 2, 1 2 3线性无关.

7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1) T

T

1 1, 2,4,8 , 2 1,3,9,27 , T

T

3 1,4,16,64 , 4 1, 1,1, 1 .

解：以 1, 2, 3, 4为列向量作矩阵A 1, 2, 3, 4 ,作初等行变换得到： 1

11

1 1111 0561 A 234 1 r2 r1 r1 r2

1450 49161 r3 r1 1450

3

8150 r3 3r2

020300 82764 1 r 4 r 1 728650 r

4 7r 2 0

30

0

显然R(A)

4, 向量 1, 2, 3, 4线性无关.

(2) T

T

1 2,1,0,3 , 2 1, 3,2,4 , T

T

3 3,0,2, 1 , 4 2, 2,4,6 .

解：令 A 1, 2, 3, 4对

,A作初等行变换，得到： 2132 0 53 2 0

34034

A 1 30 2 r1 2r2 1 30 2 r 3 2r4 1 30 2 0224 r224 r 4 3r 20 1 3r3

028028 3

4

1

6 0

13

1

12 0

13

1

12

-2-

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