例说分离参数法解题

2 0 0 9年第 4期

福建中学数学

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例说分离参数法解题 谭强

四川省苍溪中学 ( 6 2 8 4 0 0)

含参数的数学问题，历来是数学高考和竞赛的热点，也是中学数学学习的难点.本文通过几例，谈谈求解四类含参问题的常用技巧一分离参数法. 1 .不等式恒成立问题 例 1若∈( _ o o, 1 )时，不等式 ( a— o 2 ) 4 +2 +1 >0恒成立，则实数 a的取值范围是( A.(一， ) C .( - 2, ) B .(一， ) D.( , 6 )

[ 0,2】。故口∈ ( 0,+ o。 ) .

评注：若函数 f( x )的值域为[ m,],则 2>f 1 ( x )有解§ a>m; a<厂 ( )有解§ a<月. 3 .方程有解问题例 4若关于 x的方程 x +( m一1 ) x+4=0在[ 0, 1]上有实数解。则实数 m取值范围为—— .

)

解：x= 0不是原方程的解 . 当∈ ( 0, l】时，分离参数得 l—=+4,而 + e【 5,+∞), _ 一

解：由 ( a一 0 2 ) 4 +2 +1>0,

分离参数得 a 一 a< (圭 ) + ) . 因为函数/( )=( ) + ( ) ￣( - - o o, 1]上为减函

.

.

m∈[ 4,+∞)。故 m∈ (—∞,一 4】 .

评注：若函数 f ( x )的值域为【 m,r l】,则口=f( x )有解口∈【 m,】 . 例 5关于 t的方程 a c o s t一2 s i n t一4 a+2=0在【 0,卅上有解，求口的取值范围. 解：由 a c o s t一2 s i n t一 4 a+2=0. 分离参数得口= 坐=>口=2×— s i n t -1 c o st 4= C OS t 4, ————

数，所以函数/ ( )在(, 1]上的最小值为{ . 由a 一a c3 4,

解得一圭 a< ,故选 B .

评注：若函数f ( x )的值域为【 m,】,则 口>f( x )恒成立 a>; a<f ( x )恒成立§口<m. 例 2若不等式 2+a . 2 +a+1>0恒成立。求实数 a的取值范围. 解：由 2。 +口 . 2 +1 2+1>0.

口

的几何意义是半圆 X:+Y :l ( y≥0】上的动点与定点

( 4, 1 )连线

的斜率 k的 2倍. 如图， ( 0, 1 )、 , o )、 A ( 4, 1 ), 由平面几何知识可知 ≤七 ,即0 J} i . : . . .

分离参数得 一

.

ol - D

r

而 2 +1

故 a的取值范围为[ o, . 例 6 ( 2 0 0 7年广东高考)已知口是实数，函数

一

( 2 +1 ) - 2 ( 2 +1 )+2 2+l

/∽=2 a x + 一 3一a,如果函数 Y=f ( x )在区间

[一 l, 1]上有零点，求口的取值范围.

=

( 2 + 1 )+÷ 一

2 J _ 1

一 2≥ 2 4 2— 2,

解： a=0时，不符合题意，所以 a≠0. ‘ . .

. .

口< 2√一 2 .

f ( x ):0在[一 1, 1】上有解

营( Z x 一1 ) a=3一 在卜l, 1]上有解 §

故实数 a的取值范围为 ( 2— 2√,+ o。 ) . 2 .不等式有解问题例 3若不等式 ( 2 1+1 ) s i n x+2 a一 1>0有解 .求实数 n的取值范围.

古：雩在[一 1, l】上有解 .

于是问题转化为求函数 =手刍在卜 1, l】上 的值域. 设t:3— 2 x, ∈卜1, 1],

解：由a ( s i n x+ 2 )> 1一 s i n x得口>牟 S I n+

。

i nx - 2 ( - s )+3=

S l n+Z sl n+ z

一

1+

S 1 nx 2

+。的’ 取值…范。围…为

贝Ⅱ 2 x=3一 t,t∈[】, 5],

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