抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

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3.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x y) f(x) f(y)且当x＞0，

f(x) 0.又f(1) 2.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x的不等式f(ax2) 2f(x) f(ax) 4.

解（1）取x y 0,则f(0 0) 2f(0)

取y x,则f(x x) f(x) f( x)

f(0) 0

f( x) f(x)对任意x R恒成立 ∴f(x)为奇函数. （2）任取x1,x2 ( , )且x1 x2， 则x2 x1 0

f(x2) f( x1) f(x2 x1) 0

f(x2) f( x1), 又f(x)为奇函数 f(x1) f(x2) ∴f(x)在（－∞，+∞）上是减函数. 对任意x [ 3,3]，恒有f(x) f( 3)

而f(3) f(2 1) f(2) f(1) 3f(1) 2 3 6

∴f(x)在[－3，3]上的最大值为6 f( 3) f(3) 6

（3）∵f(x)为奇函数，∴整理原式得 f(ax2) f( 2x) f(ax) f( 2)

进一步可得f(ax2 2x) f(ax 2)

2

而f(x)在（－∞，+∞）上是减函数， ax 2x ax 2

(ax 2)(x 1) 0.

当a 0时，x ( ,1)

当a 2时，x {x|x 1且x R}

2

当a 0时，x {x| x 1}

a

当0 a 2时, x {x|x 当a>2时，x {x|x

4.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f(

2

或x 1} a2

或x 1} a

x y1

)＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f() 21 xy

⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x1＝

2xn1

，xn＋1＝，求f(xn); 221 xn

⑶求证

1112n 5

f(x)f(x)f(x)n 212n

(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0

令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0 ∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x)

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