抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

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抽象函数经典综合题33例（含详细解答）

整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社

抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）

1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x)>1，求x的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴f( x)

1

f(x)

2

2

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴f(x)

1

0又x=0时，f(0)=1>0 f( x)

∴对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴

f(x2)

f(x2) f( x1) f(x2 x1) 1 f(x1)

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x)=f[x+(2x-x)]=f(-x+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增

∴由f(3x-x)>f(0)得：3x-x>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数

2

2

2

2

2

f(x),g(x)在

R

上有定义，对任意的x,y R有

f(x y) f(x)g(y) g(x)f(y) 且f(1) 0

（1）求证：f(x)为奇函数

（2）若f(1) f(2)， 求g(1) g( 1)的值

解（1）对x R，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)

（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0

∴g(-1)+g(1)=1

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