圆锥曲线高考热点题型及通用妙解

·复习参考·　　　　　　　　　　　　数学通讯—２下半月）０１５年第１０期（５１

圆锥曲线高考热点题型及通用妙解

林逸凡

）（吉林省长春市吉大附中实验学校，３００００１

０１５年各省高考真题的过程中发　　在收集整理２

现，许多省份（如山东、浙江、湖北、上海等）在对圆锥曲线的试题命制中，不约而同地采用了同一种题——求两交点和原点Ｏ构成的三角形的面积．型—这类题型如果采用传统的坐标法，通常需要对直线的斜率是否存在进行讨论，计算过程也相当麻烦，得分率不高．

在实际的教学过程中，笔者曾引导学生对这一类题型进行归纳，进而得出一种简洁优美的通用解法．有趣的是，当时恰是受了山东省２０１３年高考真题的启发．今年山东省旧瓶装新酒，又出了同类型的题，应当引起考生的重视．高考题都是能够追根溯源的，鼓励学生在平时勤思考、多总结、归纳题型，领悟题魂，对提高自身解题能力有相当大的帮助，可以让学生站到一个更高的视角去看问题，难题自然迎刃而解．

一、热点题型：求两交点和原点构成三角形的面

积最值

例１　（２０１５年浙江１９题）已知椭圆

２２

＝１上两个不＋ｙ

２

，左、右焦点分别是Ｆ以Ｆ率为Ｆ２．１、１为圆心３为２半径的圆与以Ｆ且交点２为圆心１为半径的圆相交，在椭圆Ｃ上．

（求椭圆Ｃ的方程；Ⅰ）

２２

（）设椭圆Ｅ＋Ｐ为椭圆Ｃ上任１，Ⅱ２２＝４ａ４ｂ

意一点，过点Ｐ的直线ｙ＝ｋＢ两ｘ＋ｍ交Ｅ于Ａ，点，射线ＰＯ交椭圆Ｅ于点Ｑ．

的值；（）求ｉＯＰ

）求△Ａ（ｉＢＱ面积的最大值．ｉ

例３　（０１５年湖北理２１题第二问）一种作图２工具如图２所示，短杆ＯＮ可Ｏ是滑槽ＡＢ的中点，绕Ｏ转动，长杆ＭＮ通过Ｎ处铰链与ＯＮ连接，且ＤＮ＝ＯＮ＝ＭＮ上的栓子Ｄ可沿滑槽ＡＢ滑动，当栓子Ｄ在滑槽ＡＭＮ＝３，１，Ｂ内作往复运动时，，带动Ｎ绕Ｏ转动一周（Ｄ不动时，Ｎ也不动）Ｍ处以Ｏ为原点，的笔尖画出的曲线记为Ｃ，ＡＢ所在的直线为ｘ

轴建立如图３所示的平面直角坐标系．

同的点Ａ，Ｂ关于直线

ｘ＋ｙ＝ｍ

对称

．

２

图１

图２

图３

（Ⅰ）求实数ｍ的取值范围；

（Ｏ为坐标原ＯＢ面积的最大值（Ⅱ）求△Ａ点）．

例２　（０１５年山东２０题）平面直角坐标系２

２２

，的离心中已知椭圆ｘＣ２＋２＝１（ａ＞ｂ＞０）Ｏｙ

ａｂ

（Ⅰ）求曲线Ｃ的方程；

（ｘ－２Ⅱ）设动直线ｌ与两定直线ｌｙ＝０和１：若直线ｌ总与曲ｌｘ＋２Ｑ两点，ｙ＝０分别交于Ｐ，２：

线Ｃ有且仅有一个公共点，试探究：ＰＱ的面积△Ｏ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

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