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数学思想专项训练(四) 数形结合思想
方法概述
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质．它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
一、选择题
1．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
1
1 A. 4 C.(1，2)
1
B. 41 D．(1，－2)
适用题型
数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
解析：选A 定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点，解得这个点的坐标是
11 .
4
2．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 2
解析：选C 因为(a－c)·(b－c)＝0， 所以(a－c)⊥(b－c)．
如图所示，设OC＝c，OA＝a，OB＝b，CA＝a－c，CB＝b
B.2 D．
2
2
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