谈谈数学解题中的分离参数思想

数学题中的其中一个难点是带参数问题,而其中的一部分又是关于对任意自变量恒成立的问题,此类题往往会让学生觉得束手无策,而要是考虑到分离参数的方法,则问题会迎刃而解.下面举例说明.

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谈谈数学解题中的分离参数思想 ◎王妙胜 (东省龙川县第一中学广数学题中的其中一个难点是带参数问题，其中的一而部分又是关于对任意自变量恒成立的问题，类题往往会此让学生觉得束手无策，要是考虑到分离参数的方法，问而则题会迎刃而解 .面举例说明.下 例 1 (07年福建高考理科数学试题 ) 20已知函数 _ )=厂 ( e一， ∈R,>,若 0且对于任意∈R I I 0恒成立， x )=试确定实数 k的取值范围. )一

5 70 ) 13 0

(由等 (÷≤分出数，取 2不式1 ) e离参两对 )+边 数解得 ≤—— ~ n

一 .

( )¨÷ 一1了 ,

设函数 )可 =

(’ 0l

0

+

解

。, 1I 0 . (0 )= )=e一 ’” 0=1 0>, =

而由于 l )= ( I,知， I )偶函数，一 _ I )可厂 ( f是 于是， II 0对于任意∈R恒成立等价于， ) ( )> (>0 对于任意∈(,。恒成立 . 0+o )

! :!=:± 2 !± 2 (+ I (+ 1 )n 1 ) l ( )一 2 n 1+ X l 1+ ) n( 2

由， )> ( 0分离出参数，得< . 令 g )=, ( ∈(, 0+∞ ), g( )= = (一1, ) 0 E(, ) ) g(<, 01,

’

由( )函数 f(在区间 (,]是减函数，以 1知 ) 01上所

I (+一 _< ( ) 0∈(,]即 F( ) 0F ) n 1 ) ,0=, 01, <, ( 在区间 (,]是减函数， F(在区间 (,]的最小值 0 1上故 ) 0 1上

g( )>, 0 E(, 1+∞ ) g ( ),, 1=0故 g (… )= ( )=,此有<… ( g 1 e因 g ): . e

为r1 l,以最值 — (击一所的大为n 1 )I 1 l Z I l 2 例 3 (0 6年全国高中数学联赛一试试题 )定整数 20给 n≥2, M。。 y )抛物线 y设 (,。是=n一1与直线 Y=的一个

又由题意>0所以实数的取值范围是 0<< ., e 例 2 ( 0 8年

湖南高考理科数学试题 )已知函数 20 . .

交点.证明对任意正整数 m,存在整数≥2使 (, )试必， 为抛物线 y 一1与直线 Y=的一个交点.=

2

, )= n (+ ( I 1 )一 ( )函数 1求

.

解由题意，。, =,为方程=n。均一1的根，可把即已知条件转化为：程一+1=0有一根‰,离参数方 分 ,

)单调区间；的

(若等 (÷ e任的 成 2不式1 )对意 nN都立 )+≤ (中 e自然对数的底数 )求 o的最大值 .其是 . L 解 ( )数 _ ) 1函厂的定义域是 (, ) (一1+,厂( )= 2 1+ I( )一， ( )n 1+ 一2 一

得： 0

:+≥2且是整数 . , 0

类似地可以把结论转化为：任意正整数 m,存在整对必数≥2使为方程一 x, k+1 0的一根，离参数，=分得 = =

孑+ .只需证参数=+≥2且是 现 , X 0 0

0

整数对任意正整数 m均成立即可 .可把看成是关于 m的 ( ) 1十 ’

函数 (,有 m)则 ①川 ) n= 2一：,是整数； 2 2且 )= Xo =

令 g ) ( )n 1 )一一 对 g )导， (=2 1+ I(+ 2, (求得 g( )=2n 1+ 1 ( )+2—2一2=2n 1+ I ( )一2 .

( )22≥寺 -— ￣ 2

再令 (=2n 1 ) x再对 (求导， ) 1 (+一2, )得 一 .

②当 m>2时，设 (—s≥2 s,是整数，假 i ),=0 1且由 +=

( ) )+ 专(一 )去

显然有 h ( )=, 0 0

而 h(>0 E(一，) h( ), 10, )<, 0∈(, ) 0+, ‘ . .

n ()一 i )是整数 . k i (一1也 又由方程。+1 0的两根之和为 n两根之积为 1一n=, 均大于 0.‰> .,.’ 0可判断当>1时，

有 h ) ( )=, (<h 0 0∈(一1 0 u(,。,, ) 0+。 )

.

.

函数 g ) (一1+ )是减函数 . (在，上

于是 g ) ( )=, (一1 0, )<g 0 (>g

0 0∈, ) g( ( )=0, ∈ (+∞ ) 0,,

)(1+一 o一i去 ( ￣- n、 ) , =

÷ (一) 1( 0

一) 0 1≥,

即_ ) 0,厂(>∈(, ) (<0∈(,一1 0 ), 0+∞ ) .

。 . .

(+1= ( ) (一1≥2 ( ) (一 ) () 2 i ) i一 i ) i一 i 1≥ / .>

因此函数， )单调增区间为 (一10,调减区间为 (的，)单 (, 0+∞) .

因此对任意正整数 m,存在参数≥2且是整数，题均问 得证. 数学学习与研究 2 1 . 009

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