解析几何中的参数方法

参数思想及参数方法在解析几何中的应用

一、知识概要

x f(t)

1．一般曲线的参数方程 （t为参数）x，y分别是参数t的函数。

y g(t)

2．直线的参数方程

设直线l过定点P0（x0，y0），α为其倾斜角，P（x、y）是l上任一点，P0P＝t（有向线段P0的数量），

x x0 tcos

则直线l的参数方程是 ，当P点在P0的上方（右方）时t>0；当P在P0的下方（左方）时

y y tsin 0

t<0。

如果把直线l看成以P0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t是点P的坐标。设P1，P2是直线l上的两个点，分别对应t1，t2（即P0P＝t1，P0P＝t2），则线段P1P2的中点对应t中＝为|P1P2|＝|t1－t2|。

3．圆的参数方程

圆：(x－x0)＋(y－y0)＝r的参数方程为： 4．椭圆的参数方程

2

2

2

t1 t2

；线段P1P2的长度2

x x0 rcos

（α为参数，表θC的动半径的旋转角）

y y0 rsin

x x0 acos 222222

椭圆：b(x－x0)＋a(y－y0)＝ab的参数方程为： （θ为参数，表动点P（x，y）

y y bsin 0

的离心角）

5．双曲线的参数方程

x x0 asec 222222

双曲线:b(x－x0)－a(y－y0)＝ab的参数方程为： （θ为参数，表双曲线上动点P

y y0 btan

（x，y）的离心角）

6．抛物线的参数方程

2

x x0 2pt

抛物线:(y－y0)＝2p(x－x0)的参数方程为： （t为参数，表动点P（x，y）与顶点连

y y 2pt0

2

线斜率的倒数）

二、典型例题

（一）轨迹问题

例1 （全国高中联赛） 若动点P（x，y）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点

22

θ（－2xy，y－x）的运动方程是

A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动 B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动 C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动

x cos t

解：将P（x，y）表示成 （ω>0，t为参数）又令θ的坐标为（u，v），则u＝－2xy

y sin t

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