参数思想及参数方法在解析几何中的应用

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数学通讯

20 0 7年第 1期 2

参数思想及参数方法在解析几何中的应用 杨映柳苏远东 (中师大一附中，北武汉 40 2 )华湖 32 3

当直接寻找变量 z,之间的关系显得很困难的 Y时候，当地引入一个中间变量 t称之为参数 )分恰 ( .别建立起变量 z Y参数 t直接关系。而间接地。与的从知道了与之间的关系，种数学思想称为参数这思想 .过引入参数、立参数方程求解数学问题的通建方法称为参数方法 . 参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用，比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题、变量的范围及最值问题、点和定值问题等等.用参定运数方法的关键在于参数的选择 (即如何引参。见的常

4椭圆 C:。 z X )+口 ( ) b (— o。。— Y )一口 6 o。。2的

参方数程为：—{ I y

,— XO十口C U z OS

yo+ b i snU

. . (为数) 参 .

5双曲线 b( )。z— X )一口 ( y ) o。。— o。一口b。。的 ,— X0十口s c z eg

参数方程为：{

I— y y o+ bt n aU

。

(为 参数) .

6抛物线 ( y) )— o。一 2 ( p x— X )的参数方程 o 为：一 X+ 0 I 2典型例题

Y— Y+ 2 o

。 (为参数 ) t .

引参方式有：点参数，斜率参数。距参数。离参截距数。比例参数，角参数，间参数等)然后通过必要时。 的运算和推理，立目标变量与参数的某种联系，建最后又消去参数只保留目标变量而获解 .题时应注解

2 1轨迹问题 .

例 1 (9 4年全国高中联赛 )若动点 P z,) 18 ( 以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点 Q( 2 y y— z )的运动方式是一 x。Z。 ( )

意参数范围的限定。以确保变形过程的等价性. 1几种常见的参数方程 ,一 z厂 t ()

( A)以角速度甜在单位圆上顺时针运动 . ( )以角速度 C在单位圆上逆时针运动 . B O

1一般曲线的参数方程是 J ) 数) .

(为参 f

( C)以角速度 2在单位圆上顺时针运

动. ( D)以角速度 2在单位圆上逆时针运动 . ’

I y— g t ()

2过定点 P ( o y )倾斜角为 a的直线 Z ) o z,o、的参 ,— z XO十 t OS C a,

解由题意知，— C S, z O￣ Y— s o (> 0 t￣ - i￣ nt,

为参数 )则… 2y, x

2o“s“… cs i n

s2t i￣ n

数方程是： l 一

I— y y o+ tla’ sn

其中 P z是 z任 (、)上

c s一 2+ o(“

)。

一 z一 sn o一 C s o一 2 i z￣ O zj t

点。0 P P— t向线段再声的数量)当 P点在 P (有。。 一

c s“一 sn - 2+ o2 i(“

),

的上方 (方 )时。> 0当 P在 P右 t;。的下方 (方 )左 时，< 0 t . 、

. . Q( 2y。。 z )以角速度 2单位圆 .点一 x y一。在 上顺时针运动。选 ( )故 C.

如果把直线 Z成以 P看。为原点，上或向右为向正方向的数轴， t点 P的坐标 . P。 z直线则是设 1P是 Z的两个点。别对应参数 t。。即 P。一 t. o上分。t( 0 P P P z= t) z,则线段 P Pz的中点对应参数坤一 1 ,

评注此题虽然简单，可以很好地诠释引参但的作用，以 t桥梁，通了动点 Q一 2 y,一即为沟 ( x z )的坐标之间的关系，而轨迹可求 .。从 例 2 ( 0 0年希望杯一试 1 )过原点作互 20 8题相垂直的两条直线。别交抛物线 y一工于 A,分 2 B两

线段 P P。。的长度为 l。。l l一 t . P= P。1

3 )圆 C (:z—X )+ (— y )一的参数方程 o。 o。 , z X0+ r o a cs

点 .线段 A的中点的轨迹方程是则 B

—

.

—

为： J

(为参数) a .

I— y y o+ r i a sn

解 设 I Y一。 z: O A:则∞ Y一一

(知志易应

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