参数思想与方法在解析几何中的应用

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参数思想及参数方法在解析几何中的应用

华中师大一附中 杨映柳 苏远东

当直接寻找变量x，y之间的关系显得很困难的时候，恰当地引入一个中间变量t（称之为参数），分别建立起变量x，y与参数t的直接关系，从而间接地知道了x与y之间的关系。这种数学思想即称之为“参数思想”。通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法即称之为“参数方法”。

参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用。比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题，变量的范围及最值问题，定点和定值问题等等。运用参数方法的关键在于参数的选择，即如何引参（常见的引参方式有：①点参数；②斜率参数；③截距参数；④距离参数；⑤比例参数；⑥角参数；⑦时间参数等。），然后通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后又消去参数只保留目标变量而获解。解题时应注意参数范围的限定，以确保变形过程的等价性。

一、知识概要

x f(t)

1．一般曲线的参数方程 （t为参数）x，y分别是参数t的函数。

y g(t)

2．直线的参数方程

设直线l过定点P0（x0，y0），α为其倾斜角，P（x、y）是l上任一点，P0P＝t（有向线段P0的数量），

x x0 tcos

则直线l的参数方程是 ，当P点在P0的上方（右方）时t>0；当P在P0的下方（左方）时

y y tsin 0

t<0。

如果把直线l看成以P0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t是点P的坐标。设P1，P2是直线l上的两个点，分别对应t1，t2（即P0P＝t1，P0P＝t2），则线段P1P2的中点对应t中＝为|P1P2|＝|t1－t2|。

3．圆的参数方程

圆：(x－x0)＋(y－y0)＝r的参数方程为： 4．椭圆的参数方程

2

2

2

t1 t2

；线段P1P2的长度2

x x0 rcos

（α为参数，表θC的动半径的旋转角）

y y0 rsin

x x0 acos 222222

椭圆：b(x－x0)＋a(y－y0)＝ab的参数方程为： （θ为参数，表动点P（x，y）

y y bsin 0

的离心角）

5．双曲线的参数方程

x x0 asec 222222

双曲线:b(x－x0)－a(y－y0)＝ab的参数方程为： （θ为参数，表双曲线上动点P

y y btan 0

（x，y）的离心角）

6．抛物线的参数方程

2

x x0 2pt

抛物线:(y－y0)＝2p(x－x0)的参数方程为： （t为参数，表动点P（x，y）与顶点连

y y0 2pt

2

线斜率的倒数）

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