参数思想及参数方法在解析几何中的应用

2007年第12期 数学通讯

y=kxy=x2

联立解得它们的交点P(x0,y0)

x0=,

2y0=

k-,x=

21k+2

k

y=,

2

39

的坐标

存在且不为0),联立:B(-11,).kk2

得A(k,k2),同理得

为:

(b-a),2

交点P的轨迹为直线x=a+b(除去与x轴

2

消

的交点和与y2=x的交点).

评注 求轨迹问题,一定要注意点的纯粹性和完备性.事实上由 ,几何上容易判断P的1+ 2=!轨迹应在线段AB的中垂线上.2.2 定点定值问题

例4 (1998年全国高中联赛)已知抛物线y2

=2px及定点A(a,b),B(-a,0)(ab#0,b2#2pa),M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2,求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1#M2),直线M1M2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

分析

设动点M的坐标为(x0,y0),由直线

AM,MB与抛物线相交可以表示出交点M1,M2的坐标(用x0,y0,a,b,p表示),又可求定点P(x,y)在直线M1M2上,故P,M1,M2三点共线可化简为关于P(x,y)的方程,系数用x0,y0表示,由于(x0,y0)的任意性而求出P(x,y).

y20

,y),0

设AB的中点为M(x,y),去参数k得y=2x+1.

评注 引入斜率k作为参数十分多见,但应注意k不存在或k为0两种极端情况的处理.此外,参数方程一般应化成普通方程作答.

例3 (1993年全国高中联赛)设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别作直线l和m,使与抛物线y2=x有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这两条直线l与m的交点的轨迹.

分析 本题是过定点弦问题,宜用参数法.在利用四点共圆条件时,应充分挖掘几何条件(比如圆幂定理)去转化.

解 设l与m交于点P(x0,y0),它们与x轴的倾角分别为 1, 2,

于是l:

x=x0+tcos 1y=y0+tsin 1

(t为参数)

(1)

2

解 (

设M,M1,M2的坐标分别为(

m:

x=x0+tcos 2y=y0+tsin 2

2

(t为参数)

2

2

(2)

y2y21

,y1),(2,y2).2p2p

2

2-=由A,M,M1共线得:y1-y0

将(1)代入y=x得tsin 1+t(2ysin 1-2

cos 1)+(y0-x0)=0,由韦达定理得|t1| |t2|=

2-a,化y0-b

y2-x

|020|,由参数t的几何意义得sin1

|PA1| |PA2|=|

y20-x0

|.

sin1

简得

y1=

y0-b

(1)(2)

同理,由B,M1,M2共线可得y2=2pa

y0设(x,y)是直线M1M2上的点,则

y1y2=y(y1+y2)-2px

由(1)、(2)和(3)消去y1,y2,并整理得

将(2)代入y2=x,同理有

|PB1| |PB2|=|

y-x0

|.

sin22

20

(3)

!A1,A2,B1,B2四点共圆,由圆幂定理得,|PA1| |PA

2

2

y20(2px-by)+y0 2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.

由(x,当且仅当a,pa

,|=|PB1| |PB2|,

2

sin 1=sin 2,故 1= 2或 1=!- 2.若 1= 2,则l m,无交点,故舍去.

若 1=!- 2,故过定点A(a,0),B(b,0)的直

=x-a)m:y=-k(b),

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