参数思想及参数方法在解析几何中的应用

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数学通讯 2007年第12期

参数思想及参数方法在解析几何中的应用

杨映柳 苏远东

(华中师大一附中,湖北武汉430223)

当直接寻找变量x,y之间的关系显得很困难的时候,恰当地引入一个中间变量t(称之为参数),分别建立起变量x,y与参数t的直接关系,从而间接地知道了x与y之间的关系,这种数学思想称为参数思想.通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法称为参数方法.

参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用,比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题、变量的范围及最值问题、定点和定值问题等等.运用参数方法的关键在于参数的选择(即如何引参,常见的引参方式有:点参数,斜率参数,截距参数,距离参数,比例参数,角参数,时间参数等),然后通过必要的运算和推理,建立目标变量与参数的某种联系,最后又消去参数只保留目标变量而获解.解题时应注意参数范围的限定,以确保变形过程的等价性.1 几种常见的参数方程

1)一般曲线的参数方程数).

2)过定点P0(x0,y0)、倾斜角为 的直线l的参数方程是:

x=x0+tcos ,y=y0+tsin ,

其中P(x、y)是l上任

x=f(t)y=g(t)

(t为参

为:

4)椭圆C:b2(x-x0)2+a2(y-y0)2=a2b2的参数方程为:

x=x0+acos y=y0+bsin

( 为参数).

5)双曲线b2(x-x0)2-a2(y-y0)2=a2b2的参数方程为:

x=x0+asec y=y0+btan

( 为参数).

6)抛物线(y-y0)2=2p(x-x0)的参数方程x=x0+2pt2y=y0+2pt

(t为参数).

2 典型例题2.1 轨迹问题

例1 (1984年全国高中联赛)若动点P(x,y)以等角速度 在单位圆上逆时针运动,则点Q(-2xy,y2-x2)的运动方式是

( )

(A)以角速度 在单位圆上顺时针运动.(B)以角速度 在单位圆上逆时针运动.(C)以角速度2 在单位圆上顺时针运动.(D)以角速度2 在单位圆上逆时针运动.解 由题意知,x=cos t,y=sin t( >0,t为参数),则-2xy=-2cos tsin t=-sin2 t=cos(-2 t+3!),y2-x2=sin2 t-cos2 t=

2-cos2 t=sin(-2 t+3!),

2

点Q(-2xy,y2-x2)以角速度2 在单位圆上顺时针运动,故选(C).

评注 此题虽然简单,但可以很好地诠释引参的作用,即以t为桥梁,沟通了动点Q(-2xy,y2-x2)的坐标之间的关系,从而轨迹可求.

例2 (2000年希望杯一试18题)过原点作互相垂直的两条直线,分别交抛物线y=x2于A,B两点,则线段AB的中点的轨迹方程是

解 设lOA:y=kx,则lOB:y=-.(易知k应k

一点,P0P=t(有向线段P0P的数量),当P点在P0的上方(右方)时,t>0;当P在P0的下方(左方)时,t<0.

如果把直线l看成以P0为原点,向上或向右为正方向的数轴,则t是点P的坐标.设P1,P2是直线l上的两个点,分别对应参数t1,t2(即P0P1=t1,P0P2=t2),则线段P1P2的中点对应参数t中=t+t,线段P1P2的长度为|P1P2|=|t1-t2|.

2

)圆C:(x-x0)+(y-y0)=r的参数方程=x0+rcos 0( 为参数).

2

2

2

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