参数思想与方法在解析几何中的应用

...

二、典型例题

（一）轨迹问题

例1 （全国高中联赛） 若动点P（x，y）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点

22

θ（－2xy，y－x）的运动方程是

A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动 B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动 C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动

x cos t

解：将P（x，y）表示成 （ω>0，t为参数）又令θ的坐标为（u，v），则u＝－2xy

y sin t

3 2222

)，v＝y－x＝sinωt－cosωt＝－cos2ω 2

3

u cos( 2 t ) 3 2，显然，ωt与－2ωt的旋转方

t＝sin(－2ωt＋)，∴θ（u，v）的参数方程为

2 v sin( 2 t 3 )

2

＝－2cosωtsinωt＝－sin2ωt＝cos(－2ωt＋

向是相反的。而P（x，y）在单位圆上逆时针运动，∴θ（－2xy，y－x）以角速度2ω在单位圆上顺时

针运动。选C。

2

例2 （2000年希望杯一试18题） 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y＝x于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。

2

2

y kx12

解：设lOA：y＝kx，则lOB：y＝ x（易知k应存在且不为0），联立： 得A（k，k），同理2

ky x 1

k x 11 22

B( ,2)。设AB中点为M（x，y），则 消去k得y＝2x＋1

1kk k2 2

y 2

例3 （全国高中联赛） 设0<a<b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别作直线l和m，使与抛物线

2

y＝x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这两条直线l与m的交点的轨迹。

解：本题是过定点弦问题，宜用参数法。在利用四点共圆条件时，应充分挖掘几何条件去转化，比如圆幂定理。

x x0 tcos 1

设l与m交于点P（x0，y0），它们与x轴的倾角分别为θ1，θ2，于是l： ，t为参数

y y tsin 01 x x0 tcos 2

① m： t为参数 ②

y y tsin 02

2

将①代入y＝x得tsinθ1＋t(2ysinθ1－cosθ1)＋(y0－x0)＝0，由韦达定理得

2

2

2

|t1||t2|＝|

2

y0 x0

sin 1

2

2

|，由参数t的几何意义得|PA1||PA2|＝|

2

y0 x0

2

y0 x0

sin 1

2

|。

将②代入y＝x，同理有|PB1||PB2|＝|

sin 2

2

|.∵A1、A2、B1、B2四点共圆，由圆幂定理得，|PA1||PA2|

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