参数分离思想及其应用

分离参数得

2lga=4

x

+x.

令y1=2lga;

y2=

4x

+x.作函数

图象(图3),从图中容易看出:

图3

当2lga=4或2lga=5(x≠1),即a=102

或5a=102

时,方程有一解;

当2lga>4且2lga≠5即a>102

且a≠1052

时,方程有两解.

参数分离思想除了方便地解决方程根的分布问题外,还可妙用于解决不等式恒成立问题,我们来看一道全国数学联赛题.

例4　若lg(2ax)

lg(a+x)

<1恒存在解x∈(1,

2],求实数a的取值范围.

分析　由题设x>1,a>0,所以原不等式可化为lg(2ax)<lg(a+x),从而有2ax<

a+x.

分离参数a,即为

a<

x

2x-1,令g(x)=x

2x-1.

由于g(x)在x∈(1,2]上是单调递减函

数,故g(x)min=g(2)=2

3

,所以.a<g(x)min

=23

.从而得a的范围为(0,2

3

).

练习　若对任何x∈[0,1],不等式1-kx≤

1x+1

≤1-px

恒成立,求k,p范围.

(用同样的方法可得:k≥12,p≤

12+

2)

再看一个日本1988年高考题:例5　设Η∈(0,Π),cos22

Η+2msinΗ-2m-2<0恒成立,求m的取值范围.

-m<1+sin2分析　Η

2-2sinΗ.令t=1-sinΗ

,0<t<1.则-m<

1

t

+

t

2

-1　(3).令g(t)=1

t

+

t

图4

2-1,由于函数g(t)在(0,1)

内单调递减(图4),所以g(t)的值域为(12

,+∞).

故要使(3)式在(0,1)内恒成立,只需-m≤12,即m∈[-12

,+∞).

再看一个二次函数的相关问题:

例6　已知函数f(x)=x2-2kx+2在x≥1时,恒有f(x)≥k,求k的取值范围.分析　由题意知,在x≥1时,x2-2kx+2≥k恒成立.

由于2x+1≥0,故作参数分离得k≤

x2

+2

2x+1

.令2x+1=t,得

4k≤t+9

t

-2,(t≥3).

令g(t)=t+9

t-2,由于g(t)在[3,+∞)上单调递增,故

g(t)min=4,从而k≤1.

本题若改为:已知f(x)的值域是[k,+∞),将怎样处理为宜,留给读者考虑.

另外参数分离思想还可用于函数在某区间内恒有意义的问题.

例7　(全国联赛题)已知函数

f(x)=loga(a-kax

),(a>0,a≠1).

当0<a<1时,f(x)在[1,+∞)内恒有意义,求实数k的取值范围.

分析　由题意知a-kax>0在[1,+∞)内恒成立,分离参数,得

k<

a1ax,令g(x)=(

a

)x-1,(

0<a<1).

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