参数分离思想及其应用

参数分离思想及其应用

闻　杰　(浙江省杭州市长征中学　314400)

　　含参变量问题的分类讨论,一直是高中数学教学的难点和重点,尤其是含参变量方程的根的分布及含参变量函数的值域问题.能否找到一种办法,使得既可避免纷繁的分类讨论,又使运算简洁,还使变量间的内在关系明确地显示出来.为解决这个问题,本文提出了参数分离思想.先看一个例题:

例1　已知关于x的方程lg2x=2lg(x+a),讨论当a为何值时方程有一解、两解、无解.

分析　原方程可变换成下列不等式组:

2x>0,x+a>0,

x+a=

2x.

若用方程思想处理,较繁且有一定难度,分类讨论时易漏情况.所以我们换个角度考虑,用参数分离思想把参数a与x分离在等式的两侧,然后用函数的观点来考察.

分离参数,得a=-x+2x.

令t=

x>0,则上式化为二次函数a=-t2

+2

t,(t>0).

再研究其函数图象,令y1=t2+2t,(t>0);y2=

a.

要使原方程有

图1解,只需要两图象有交点即可,有几个交点就

有几个解.

由图1立即可知:

当a∈(-∞,0]或a=12时,方程有一

解;

当a∈(0,

12

)

时,方程有两解;当a∈(

1

2

,+∞)时,方程无解.通过上例的分析,我们不难看到,用参数分离思想解题确实简洁明快,不仅运算简捷、

速度快,而且当参数变动时,方程根的变化规律一目了然,同时也弄清了变量间的内在结构,在这方面它远胜于方程思想.我们再来看一个1989年的高考压轴题:

例2　已知关于x的方程(x-2k)2=

ax,x∈(2k-1,2k+1],k∈N.要使方程有两

个不等的实根,则a的取值如何?

分析　由题意知x>0,故可分离参数a得a=

(x-2k)2

4k2

x

=x+x

-4k,(k∈N+).

令y1=x+

4k2

x

-4k;y2=a,画出图2,在图上容易

看出:当x=2k-1时,y1=1

2k-1

;当x=2k+1时,y1=图2

1

2k+1

.而且

11

(2k-1)>

(2k+1),因此要使方程有两个不同的实根,只要y1与y2的图象有两个不同的交点,故只要0≤a≤

1

2k+1

即可.下面再看一个匈牙利赛题:

例3　求实数a的范围,使关于x的方

程

1+

2()

log2x

=2logx2

有两解;一解.

分析　由题意知x>0且x≠1,故原方程可化为log2x+log2(2lga-x)=2log2xlogx2,即x(2lga-x)=4.

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